ベクトルとは何か｜失われた数学的直観の回復

このページは、Phase 1「線形代数」の一部として、ベクトルとは何かを扱う。目的は、記号を暗記することではなく、式・図形・変換・座標の対応を取り戻すことにある。

最初の入口：ベクトルとは何か

まず大事なのは、ベクトルを「数字の並び」と見ないこと。たとえば、

\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

は、単に「3と2」ではない。これは、

ある空間の中で、右に3、上に2だけ進むという関係・移動・差分

である。つまりベクトルは、点そのものというより、

あるものから別のものへ向かう差
空間の中に置かれた向きと大きさ
座標で表現された関係

として見るのがよい。ここがすでに、LLMの潜在空間にもつながる。LLMの内部ベクトルも、「意味そのもの」ではなく、巨大な空間内での位置・方向・近さ・変化として扱われる。

ベクトルは、例えば

\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

だと、二次元平面上の点Aと点Bの関係、という理解でいい？ということは、三次元空間上の関係、四次元……というベクトルもある？行列は、そうなんだ、という感じ。

A = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

が、なぜ平面上のすべての点を横方向に2倍する操作なのかは、まだ全然理解できてないけど大丈夫？

その理解でかなりよい。ただし、少し精密にすると、

\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

は、

点Aから点Bへ行くとき、右に3、上に2だけずれている

という関係を表している。もし点Aが

$$ A=(1,4) $$

点Bが

$$ B=(4,6) $$

なら、

B-A=(4-1,\ 6-4)=(3,2)

なので、AからBへのベクトルは

\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

になる。つまりベクトルは、点そのものというより、

2つの点の差
位置の変化
空間内の関係

である。ただし、原点から見れば、上のベクトルは「原点から点 (3,2) へ向かう矢印」としても描ける。だからベクトルには二つの見方がある。

本質的には、後者の「差分・関係」として見るほうが強い。

三次元なら、

\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}

これは、

右に3、奥に2、上に5

のような空間内のずれである。四次元なら、

\begin{pmatrix}3\\2\\5\\7\end{pmatrix}

のようになる。ただし四次元は、もう普通には図として見えない。でも数学的には同じである。 2次元では成分が2個。3次元では成分が3個。4次元では成分が4個。1000次元では成分が1000個。つまり、

\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}

のように、成分が n 個あるものを n 次元ベクトルと呼ぶ。ここがLLMにつながる。LLM内の単語や文の表現も、ざっくり言えば、数百次元〜数千次元のベクトルとして扱われる。人間には図示できないけれど、数学的には「高次元空間内の点・方向・関係」として扱える。